和

$$\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{2} \int_0^4 f(t) \sin \frac{1}{2} n \pi t , dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \ &= \frac{1}{2} \int_0^4 t \sin \frac{1}{2} n \pi t , dt = \frac{1}{2} \left[ -\frac{2t}{n\pi} \cos \frac{1}{2} n \pi t + \frac{4}{(n\pi)^2} \sin \frac{1}{2} n \pi t \right]_0^4 = -\frac{4}{n\pi} \end{aligned}$$

因此，根据 (12.10)， $\phi(t)$ 是

$$\begin{aligned} \phi(t) &= 2 - \frac{4}{\pi} \left( \sin \frac{1}{2} \pi t + \frac{1}{2} \sin \pi t + \frac{1}{3} \sin \frac{3}{2} \pi t + \frac{1}{4} \sin 2t + \frac{1}{5} \sin \frac{5}{2} \pi t + \dots \right) \ &= 2 - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{1}{2} n \pi t \end{aligned}$$

由于 $\phi(t) = f(t)$ 对于 $0 < t < 4$ ，可以得出该傅里叶级数在 $f(t)$ 此区间内表示

$$f(t) = t = 2 - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{1}{2} n \pi t \quad (0 < t < 4) \tag{12.29}$$

。因此 $t$ 需要特别注意的是，该级数仅在区间 $0 < t < 4$ 内收敛于。对于 $t$ 在此区间之外，它收敛于周期延拓函数 $\phi(t)$ 。同样，收敛应按定理 12.2 的意义来理解，因此在端点 $t = 0$ 和 $t = 4$ 处，级数不收敛于 $t$ ，而是收敛于 $\phi(t)$ 中间断点的平均值，即数值 2。

12.3.2 半幅余弦级数与正弦级数

与上一节中对 $\phi(t)$ 进行周期延拓 $f(t)$ 的做法不同，也可以构造偶函数或奇函数形式的周期延拓，使得延拓后的周期函数的傅里叶级数只含余弦项或只含正弦项。

对于仅在有限区间 $f(t)$ 上定义的函数 $0 \leq t \leq \tau$ 其偶周期延拓 $F(t)$ 是由下式定义的偶周期函数

$$F(t) = \begin{cases} f(t) & (0 < t < \tau) \ f(-t) & (-\tau < t < 0) \end{cases}$$

$$F(t + 2\tau) = f(t)$$

作为说明，图 12.17(a) 中所示函数（在图 12.19(a) 中重新绘制）的偶周期延拓 $F(t)$ 的函数 $f(t)$ 如图 12.19(b) 所示。

图 12.19
(a) 一个函数 $f(t)$ 。
(b) 其偶周期延拓 $F(t)$ .