假设 $f(t)$ 在区间内满足狄利克雷条件 $0 < t < \tau$ ，由于它是一个周期为 $2\tau$ 的偶函数，由第 12.2.5 节可知，偶周期延拓 $F(t)$ 将有一个仅由余弦项组成的收敛傅里叶级数表示，其形式为

$$F(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n\pi t}{\tau} \quad (12.30)$$

其中

$$a_n = \frac{2}{\tau} \int_0^\tau f(t) \cos \frac{n\pi t}{\tau} dt \quad (n = 0, 1, 2, \dots) \quad (12.31)$$

由于在特定区间内 $0 < t < \tau$ , $F(t)$ 与 $f(t)$ 完全相同，因此级数 (12.30) 在该区间内也收敛于 $f(t)$ 。

对于一个函数 $f(t)$ 仅在有限区间上有定义 $0 \leq t \leq \tau$ ，其奇周期延拓 $G(t)$ 是由下式定义的奇周期函数

$$G(t) = \begin{cases} f(t) & (0 < t < \tau) \ -f(-t) & (-\tau < t < 0) \end{cases}$$

$$G(t + 2\tau) = G(t)$$

同样，作为说明，图 12.20(b) 中展示了函数 $G(t)$ 的 $f(t)$ 奇周期延拓（图 12.17(a) 中所示，在图 12.20(a) 中重新绘制）。

图 12.20
(a) 一个函数 $f(t)$ 。
(b) 其奇周期
延拓 $G(t)$ 。

只要 $f(t)$ 在区间上满足狄利克雷条件 $0 < t < \tau$ , 因为它是周期为 $2\tau$ 的奇函数，所以由 12.2.5 节可知，奇周期延拓 $G(t)$ 将有一个仅由正弦项组成的收敛傅里叶级数表示，其形式为

$$G(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n\pi t}{\tau} \quad (12.32)$$

其中

$$b_n = \frac{2}{\tau} \int_0^\tau f(t) \sin \frac{n\pi t}{\tau} dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \quad (12.33)$$

同样，由于在特定区间 $0 < t < \tau$ , $G(t)$ 内与 $f(t)$ 相同，因此级数 (12.32) 在该区间内也收敛于 $f(t)$ 。