我们注意到，偶延拓和奇延拓的周期延拓 $F(t)$ 和 $G(t)$ 的周期均为 $2\tau$ ，这是 $f(t)$ 的定义区间长度的两倍。然而，所得的傅里叶级数 (12.30) 和 (12.32) 仅基于函数 $f(t)$ ，因此被称为 $f(t)$ 的半程傅里叶级数展开。特别地，偶半程展开 $F(t)$ ，即 (12.30)，被称为 $f(t)$ 的半程余弦级数展开，而奇半程展开 $G(t)$ ，即 (12.32)，被称为 $f(t)$ 。

例 12.12

对于仅在区间 $f(t) = t$ 内定义、且在例 12.11 中讨论过的函数，求 $0 < t < 4$ (a) 半幅余弦级数展开式；

• (b) 半幅正弦级数展开式。

画出

• 的图形，以及由所得的两个级数在 $f(t)$ 上表示的周期函数的图形。

解 (a) 半幅余弦级数。定义周期函数 $-20 < t < 20$ 为 $F(t)$ 于是，由于

$$F(t) = \begin{cases} f(t) = t & (0 < t < 4) \ f(-t) = -t & (-4 < t < 0) \end{cases}$$

$$F(t + 8) = F(t)$$

是周期为 8 的偶周期函数，它具有由 (12.30) 给出的收敛傅里叶级数展开式。取 $F(t)$ 。 $\tau = 4$ 在 (12.31) 中，我们有

$$\begin{aligned} a_0 &= \frac{2}{4} \int_0^4 f(t) dt = \frac{1}{2} \int_0^4 t dt = 4 \ a_n &= \frac{2}{4} \int_0^4 f(t) \cos \frac{1}{4} n \pi t dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \ &= \frac{1}{2} \int_0^4 t \cos \frac{1}{4} n \pi t dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{4t}{n\pi} \sin \frac{1}{4} n \pi t + \frac{16}{(n\pi)^2} \cos \frac{1}{4} n \pi t \right]_0^4 \ &= \frac{8}{(n\pi)^2} (\cos n\pi - 1) = \begin{cases} 0 & (\text{even } n) \ -16/(n\pi)^2 & (\text{odd } n) \end{cases} \end{aligned}$$

然后，根据 (12.30)，以下函数的傅里叶级数展开为 $F(t)$ 为

$$F(t) = 2 - \frac{16}{\pi^2} (\cos \frac{1}{4} \pi t + \frac{1}{3^2} \cos \frac{3}{4} \pi t + \frac{1}{5^2} \cos \frac{5}{4} \pi t + \dots)$$