或

$$F(t) = 2 - \frac{16}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} \cos \frac{1}{4}(2n-1)\pi t$$

由于 $F(t) = f(t)$ 对于 $0 < t < 4$ ，因此该傅里叶级数可表示 $f(t)$ 在此区间内。于是 $f(t)$ 的半区间余弦级数展开为

$$f(t) = t = 2 - \frac{16}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} \cos \frac{1}{4}(2n-1)\pi t \quad (0 < t < 4) \quad (12.34)$$

为 $G(t)$ (b) 半区间正弦级数。 定义周期函数

$$G(t) = \begin{cases} f(t) = t & (0 < t < 4) \ -f(-t) = t & (-4 < t < 0) \end{cases}$$

$$G(t + 8) = G(t)$$

为 $G(t)$ 那么，由于它是以 8 为周期的奇周期函数，因此具有由 (12.32) 给出的收敛傅里叶级数展开。取 $\tau = 4$ 在 (12.33) 中，我们有

$$\begin{aligned} b_n &= \frac{2}{4} \int_0^4 f(t) \sin \frac{1}{4}n\pi t , dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \ &= \frac{1}{2} \int_0^4 t \sin \frac{1}{4}n\pi t , dt = \frac{1}{2} \left[ -\frac{4t}{n\pi} \cos \frac{1}{4}n\pi t + \frac{16}{(n\pi)^2} \sin \frac{1}{4}n\pi t \right]_0^4 \ &= -\frac{8}{n\pi} \cos n\pi = -\frac{8}{n\pi}(-1)^n \end{aligned}$$

因此，由 (12.32)，……的傅里叶级数展开为 $G(t)$ 是

$$G(t) = \frac{8}{\pi} \left( \sin \frac{1}{4}\pi t - \frac{1}{2} \sin \frac{1}{2}\pi t + \frac{1}{3} \sin \frac{3}{4}\pi t - \dots \right)$$

或

$$G(t) = \frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin \frac{1}{4}n\pi t$$

由于 $G(t) = f(t)$ 对于 $0 < t < 4$ ，可知该傅里叶级数在 $f(t)$ 此区间内表示该函数。因此，……的半程正弦级数展开为 $f(t)$ 是

$$f(t) = t = \frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin \frac{1}{4}n\pi t \quad (0 < t < 4) \quad (12.35)$$