12.3.3 习题

1. 14 证明该函数的半程傅里叶正弦级数展开式 $f(t) = 1$ ，在 $0 < t < \pi$ 上有效，为 $$f(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n-1)t}{2n-1} \quad (0 < t < \pi)$$ 画出 $f(t)$ 以及该级数展开所表示的周期函数在 $-3\pi < t < 3\pi$ .
2. 上的图像 $f(t) = 2t - 1$ 15 求该函数的半程傅里叶余弦级数展开式 $0 < t < 1$ ，在 $f(t)$ 上有效。画出该函数以及该级数展开所表示的周期函数在 $-2 < t < 2$ .
3. 16 函数 $f(t) = 1 - t^2$ 要在有限区间 $0 < t < 1$ 上用傅里叶级数展开表示。求一个合适的

(a) 全范围级数展开； (b) 半范围正弦级数展开； (c) 半范围余弦级数展开。
画出

• 以及三个级数各自表示的周期函数在

• 上的图像。

  17 函数

• 定义为 $f(t)$ ，并且要用半范围傅里叶正弦级数或半范围傅里叶余弦级数表示。求出这两个级数，并画出它们所表示的函数在 $-4 < t < 4$ 上的图像。 $f(t)$ 上的图像。

  $$f(t) = \pi t - t^2 \quad (0 \leq t \leq \pi)$$ 上的图像。 $-2\pi < t < 2\pi$ 。

18 一根拉紧的、柔性的、均匀的弦，其两端固定在点 $x = 0$ 和 $x = l$ 处。

图 12.21
例 12.12 中的函数 $f(t)$ ,
$f(t)$ 和 $G(t)$ 。

需要认识到，三种不同的傅里叶级数表示 (12.29)、(12.34) 和 (12.35) 仅在所定义的区间 $f(t) = t$ 内才是函数 $0 < t < 4$ 的表示。在此区间之外，这三种傅里叶级数分别收敛于三个不同的函数 $\phi(t)$ , $F(t)$ 和 $G(t)$ ，分别如图 12.18(b)、12.21(b) 和 12.21(c) 所示。