弦的中点被移动了一段距离 $a$ ，如图 12.22 所示。如果 $f(x)$ 表示弦被移动后的形状，请将 $f(x)$ 表示为仅由正弦项组成的傅里叶级数展开。

19 当弦被移动后的形状如图 12.23 所示时，重复第 18 题。

图 12.22 第 18 题中被移动的弦。

图 12.23 第 19 题中被移动的弦。

20 一个函数 $f(t)$ 定义在 $0 \leq t \leq \pi$ 上，满足

$$f(t) = \begin{cases} \sin t & (0 \leq t < \frac{1}{2}\pi) \ 0 & (\frac{1}{2}\pi \leq t \leq \pi) \end{cases}$$

求 $f(t)$ 在该区间上的半幅傅里叶级数展开。画出该级数所表示的函数在 上的图像 $-2\pi \leq t \leq 2\pi$ 。

21 函数 $f(t)$ 定义在区间 $-l \leq x \leq l$ 上，表达式为

$$f(x) = \frac{A}{l} (|x| - l)$$

求 $f(x)$ 的傅里叶级数展开，并画出该级数所表示的函数在 $-3l \leq x \leq 3l$ 上的图像。

22 一根长度为 $T(x)$ 的杆上，距一端距离为 $x$ 处的温度分布 $L$ 由下式给出：

$$T(x) = Kx(L - x)$$    $(0 \leq x \leq L)$ ,    $K = \text{constant}$

将 $T(x)$ 以仅含正弦项的傅里叶级数展开形式。

23 求函数的傅里叶级数展开 $f(t)$ 对……成立 $-1 < t < 1$ ，其中

$$f(t) = \begin{cases} 1 & (-1 < t < 0) \ \cos \pi t & (0 < t < 1) \end{cases}$$

当……时，该级数收敛到什么值 $t = 1$ ?

12.4 傅里叶级数的微分与积分

在某些应用中，不可避免地会产生求傅里叶级数的导数或积分的需求。由于积分过程的平滑效应往往能消除间断点，而微分过程的作用恰好相反，因此傅里叶级数的积分比其微分更有可能可行，这并不令人意外。我们在此不深入探讨相关理论，而是不加证明地陈述两个关于傅里叶级数逐项积分与逐项微分的定理，并对它们的使用作一些说明。