12.4.1 傅里叶级数的积分

定理 12.3

周期函数的傅里叶级数展开 $f(t)$ 若满足狄利克雷条件，则可以逐项积分，且积分后的级数收敛于该函数的积分 $f(t)$ 。

定理结束

根据这一定理，若 $f(t)$ 在区间 $-\pi \leq t \leq \pi$ 内满足狄利克雷条件，且具有傅里叶级数展开

$$f(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nt + b_n \sin nt)$$

则对于 $-\pi \leq t_1 < t \leq \pi$

$$\begin{aligned} \int_{t_1}^t f(t) dt &= \int_{t_1}^t \frac{1}{2}a_0 dt + \sum_{n=1}^{\infty} \int_{t_1}^t (a_n \cos nt + b_n \sin nt) dt \ &= \frac{1}{2}a_0(t - t_1) + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{b_n}{n}(\cos nt_1 - \cos nt) + \frac{a_n}{n}(\sin nt - \sin nt_1) \right] \end{aligned}$$

由于右端存在项 $\frac{1}{2}a_0t$ ，这显然不是左端积分的傅里叶级数展开。然而，该结果可以重新整理为函数

$$g(t) = \int_{t_1}^t f(t) dt - \frac{1}{2}a_0t$$

的傅里叶级数展开。例 12.13 说明了这一过程。另请注意，新傅里叶级数中的傅里叶系数为 $-b_n/n$ 以及 $a_n/n$ ，因此，根据 12.2.8 节中的观察，积分后的级数比原级数收敛得更快，原级数为 $f(t)$ 。如果给定函数 $f(t)$ 在区间上不是连续的，而是分段连续的， $-\pi \leq t \leq \pi$ 那么必须注意确保积分过程在各个子区间上正确进行。同样，例 12.14 可以说明这一点。

例 12.13

由例 12.5，函数的傅里叶级数展开为

$$f(t) = t^2 \quad (-\pi \leq t \leq \pi), \quad f(t + 2\pi) = f(\pi)$$

是

$$t^2 = \frac{1}{3}\pi^2 + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos nt}{n^2} \quad (-\pi \leq t \leq \pi)$$