$$\int_{-\pi}^t t^2 dt = \int_{-\pi}^t \frac{1}{3}\pi^2 dt + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^t \frac{(-1)^n \cos nt}{n^2} dt$$

也就是说，

$$\frac{1}{3}t^3 = \frac{1}{3}\pi^2 t + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin nt}{n^3} \quad (-\pi \leq t \leq \pi)$$

由于右端的项 $\frac{1}{3}\pi^2 t$ ，这显然不是傅里叶级数展开式。然而，经过整理，我们得到

$$t^3 - \pi^2 t = 12 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin nt}{n^2}$$

现在右端可以看作函数的傅里叶级数展开式

$$g(t) = t^3 - \pi^2 t \quad (-\pi \leq t \leq \pi)$$

$$g(t + 2\pi) = g(t)$$

例 12.14

对例 12.4 中得到的方波的傅里叶级数展开式逐项积分，该方波

$$f(t) = \begin{cases} -1 & (-\pi < t < 0) \ 1 & (0 < t < \pi) \end{cases}$$

$$f(t + 2\pi) = f(t)$$

如图 12.7 所示。

解 根据 (12.21)， $f(t)$ 的傅里叶级数展开式为

$$f(t) = \frac{4}{\pi} \frac{\sin(2n-1)t}{2n-1}$$

现在我们需要在极限 $-\pi$ 和 $t$ 之间积分，并且由于 $f(t)$ 在 $t = 0$ 处，我们必须分别考虑 $t$ 在区间 $-\pi < t < 0$ 和 $0 < t < \pi$ 中的取值。

情形 (i)，区间 $-\pi < t < 0$ 。 对 (12.21) 逐项积分，我们得到

$$\int_{-\pi}^t (-1) dt = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^t \frac{\sin(2n-1)t}{(2n-1)} dt$$