也就是说，

$$\begin{aligned} -(t + \pi) &= -\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\cos(2n-1)t}{(2n-1)^2} \right]^t \ &= -\frac{4}{\pi} \left[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n-1)t}{(2n-1)^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} \right] \end{aligned}$$

可以证明

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{1}{8}\pi^2$$

（见习题 12.2.9，第 6 题），因此上式化简为

$$-t = \frac{1}{2}\pi - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n-1)t}{(2n-1)^2} \quad (-\pi < t < 0) \quad (12.36)$$

情形 (ii)，区间 $0 < t < \pi$ 。将 (12.21) 逐项积分，我们得到

$$\int_{-\pi}^0 (-1)dt + \int_0^t 1dt = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^t \frac{\sin(2n-1)t}{(2n-1)} dt$$

即得

$$t = \frac{1}{2}\pi - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n-1)t}{(2n-1)^2} \quad (0 < t < \pi) \quad (12.37)$$

综合 (12.36) 和 (12.37)，我们发现函数

$$g(t) = |t| = \begin{cases} -t & (-\pi < t < 0) \ t & (0 < t < \pi) \end{cases}$$

$$g(t + 2\pi) = g(t)$$

具有傅里叶级数展开

$$g(t) = |t| = \frac{1}{2}\pi - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n-1)t}{(2n-1)^2}$$

12.4.2 傅里叶级数的微分

定理 12.4 若 $f(t)$ 是满足狄利克雷条件的周期函数，则其导数 $f'(t)$ , 无论它存在于何处，都可以通过对 $f(t)$ 的傅里叶级数逐项求导来求得，当且仅当函数 $f(t)$ 处处连续，且函数 $f'(t)$ 具有傅里叶级数展开（即， $f'(t)$ 满足狄利克雷条件）。