根据定理 12.4 可知，如果 $f(t)$ 的傅里叶级数展开可以逐项求导，那么 $f(t)$ 必须在周期端点处是周期的（由于要求 $f(t)$ 必须处处连续）。因此，例如，如果我们处理的是周期为 $f(t)$ 且定义在区间 $2\pi$ 上的函数 $-\pi < t < \pi$ ，那么必须有 $f(-\pi) = f(\pi)$ 。为了说明这一点，考虑函数

$$f(t) = t \quad (-\pi < t < \pi)$$

$$f(t + 2\pi) = f(t)$$

的傅里叶级数展开，根据例 12.7，其表达式为

$$f(t) = 2(\sin t - \frac{1}{2}\sin 2t + \frac{1}{3}\sin 3t - \frac{1}{4}\sin 4t + \dots)$$

逐项求导，我们得到

$$f'(t) = 2(\cos t - \cos 2t + \cos 3t - \cos 4t + \dots)$$

如果这个微分过程是有效的，那么 $f'(t)$ 对于 $-\pi < t < \pi$ 必须等于 1。显然情况并非如此，因为右边的级数对于任何 $t$ 的值都不收敛。这是因为该级数的第 $n$ 项为 $2(-1)^{n+1} \cos nt$ ，并且当 $n \rightarrow \infty$ 时它不趋于零。

如果 $f(t)$ 处处连续且具有傅里叶级数展开

$$f(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nt + b_n \sin nt)$$

那么，根据定理 12.4，只要 $f'(t)$ 满足所需条件，其傅里叶级数展开为

$$f'(t) = \sum_{n=1}^{\infty} (nb_n \cos nt - na_n \sin nt)$$

在这种情况下，所得展开式的傅里叶系数为 $nb_n and na_n, so, in contrast to the integrated series, the derived series will converge more slowly than the original series expansion for f(t).$

例 12.15 考虑对函数的傅里叶级数展开式逐项求导的过程

$$f(t) = t^2 \quad (-\pi \leq t \leq \pi), \quad f(t + 2\pi) = f(t)$$

解 由例 12.5，函数 $f(t)$ 的傅里叶级数展开式为

$$t^2 = \frac{1}{3}\pi^2 + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos nt}{n^2} \quad (-\pi \leq t \leq \pi)$$

由于 $f(t)$ 在区间内及其端点处连续 $-\pi \leq t \leq \pi$ ，我们可以应用定理 12.4 得到

$$t = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \sin nt}{n} \quad (-\pi \leq t \leq \pi)$$