这与该函数所得的傅里叶级数展开式一致

$$f(t) = t \quad (-\pi < t < \pi), \quad f(t + 2\pi) = f(t)$$

见例 12.7。

12.4.3 习题

24 证明周期函数

$$f(t) = t \quad (-T < t < T)$$

$$f(t + 2T) = f(t)$$

具有傅里叶级数展开式

$$f(t) = \frac{2T}{\pi} \left( \sin \frac{\pi t}{T} - \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi t}{T} + \frac{1}{3} \sin \frac{3\pi t}{T} - \frac{1}{4} \sin \frac{4\pi t}{T} + \dots \right)$$

通过对此级数逐项积分，证明周期函数

$$g(t) = t^2 \quad (-T < t < T)$$

$$g(t + 2T) = g(t)$$

具有傅里叶级数展开式

$$g(t) = \frac{1}{3}T^2 - \frac{4T^2}{\pi^2} \left( \cos \frac{\pi t}{T} - \frac{1}{2^2} \cos \frac{2\pi t}{T} + \frac{1}{3^2} \cos \frac{3\pi t}{T} - \frac{1}{4^2} \cos \frac{4\pi t}{T} + \dots \right)$$

（提示：必须引入一个积分常数；它可以取为一个周期上的平均值来求值。）

25 周期函数

$$h(t) = \pi^2 - t^2 \quad (-\pi < t < \pi)$$

$$h(t + 2\pi) = h(t)$$

具有傅里叶级数展开式

$$h(t) = \frac{2}{3}\pi^2 + 4(\cos t - \frac{1}{2^2} \cos 2t + \frac{1}{3^2} \cos 3t \dots)$$

通过对此级数逐项求导，验证当 $f(t)$ 时，习题 24 中针对该函数所得的级数 $T = \pi$ 。

26 (a) 设周期函数 $f'(t)$ 的周期为 $f(t)$ ，其导数 $2\pi$ 具有傅里叶级数展开

$$f'(t) = \frac{1}{2}A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos nt + \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin nt$$

证明

$$A_0 = \frac{1}{n} [f(\pi^-) - f(-\pi^+)]$$

$$A_n = (-1)^n A_0 + nb_n$$

$$B_n = -na_n$$

其中 $a_0$ , $a_n$ 和 $b_n$ 是该函数的傅里叶系数 $f(t)$ 。

(b) 在例 12.7 中我们看到周期函数

$$f(t) = t^2 + t \quad (-\pi < t < \pi)$$

$$f(t + 2\pi) = f(t)$$

具有傅里叶级数展开

$$f(t) = \frac{1}{3}\pi^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} (-1)^n \cos nt - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} (-1)^n \sin nt$$

对该级数逐项求导，并解释为什么它不是该周期函数的傅里叶展开式

$$g(t) = 2t + 1 \quad (-\pi < t < \pi)$$

$$g(t + 2\pi) = g(t)$$

(c) 利用 (a) 的结果求出下列函数的傅里叶级数展开式 $g(t)$ 并通过使用欧拉公式直接计算系数来验证你的解答。