如果在一个特定区域钻井，发现石油的概率，但对这一发现没有直接的因果影响。有时确实存在因果影响，例如（在 13.2.1 节中提到的）在一个大厅里进行的民意调查或投票，麦克风在人与人之间传递。在这种情况下，个人会面临强大的心理压力去附和多数人的意见。这在统计抽样中是非常不可取的，因为它会导致严重的偏差，所以样本的一个基本特征是独立性。这要求未来的结果应该不依赖于过去或现在的结果，但首先我们需要用一般的概率术语来表达依赖性的可能性。

从一开始，所有概率都是事件的概率（见 13.3.3 节），所以一般地假设已知事件 A 已经发生（代表已有的信息）。可能的未来事件的概率现在是相对于 A 已经发生这一事实来度量的。因此，这个事件必须涵盖与已知信息相容的所有可能性，并且可以有效地被视为根据该信息得到的一个新的、修正后的样本空间。这是理解后面定义和例子的关键。

B 在给定 A 条件下的条件概率定义为

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \quad \text{where } P(A) > 0$$

这表示在 A 已经发生的条件下 B 的新概率，它取决于交集的概率，如图 13.15 所示。

图 13.15 条件概率的维恩图。

例 13.5 某人掷一枚骰子，将其盖住并告诉你所显示的数字小于四。这会如何改变数字为偶数的概率？

解 根据定义，

$$\begin{aligned} P(\text{even number | less than four}) &= \frac{P(\text{even number less than four})}{P(\text{number less than four})} \ &= \frac{P({2})}{P({1, 2, 3})} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} \ &= \frac{1}{3} \end{aligned}$$

数字小于四这一信息使样本空间缩小为 {1, 2, 3}，而该集合中只有一个元素是偶数。各个结果是等可能的，所以数字为偶数的概率从二分之一降到了三分之一。