例 13.6 定期航班准点起飞的概率为 $P(D) = 0.83$ ，准点到达的概率为 $P(A) = 0.92$ ，既准点起飞又准点到达的概率为 $P(A \cap D) = 0.78$ 。求航班

• (a) 在准点起飞的条件下准点到达的概率；
• (b) 在未能准点到达的条件下未准点起飞的概率。

解 (a) 直接由定义可得：

$$\begin{aligned} P(\text{arrives on time} \mid \text{departed on time}) &= P(A \mid D) \ &= \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = 0.94 \end{aligned}$$

(b) 首先，利用德摩根定律（第 6.2.4 节，式 (6.7)），我们有

$$\begin{aligned} P(\bar{A} \cap \bar{D}) &= 1 - P(A \cup D) \ &= 1 - P(A) - P(D) + P(A \cap D) \end{aligned}$$

由一般加法法则 (7) 可得。因此

$$\begin{aligned} P(\text{did not depart on time} \mid \text{does not arrive on time}) &= P(\bar{D} \mid \bar{A}) \ &= \frac{P(\bar{A} \cap \bar{D})}{P(\bar{A})} \ &= \frac{1 - P(A) - P(D) + P(A \cap D)}{1 - P(A)} \ &= 0.375 \end{aligned}$$

从某种意义上说，在尚未明确该量确实满足概率公理之前，就称其为条件“概率”是一种取巧的做法。验证这一点是一个有益的练习。我们逐一考察三条公理：

• (1) 事件 $A$ 可以被视为新的样本空间，并且

$$P(A \mid A) = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$$

• (2) $P(B \mid A) \geq 0$ 因为 $P(A \cap B) \geq 0$ 和 $P(A) > 0$

• (3) 如果 $B \cap C = \emptyset$ 那么 $(B \cap A) \cap (C \cap A) = \emptyset$ ，因此

$$P[(B \cap A) \cup (C \cap A)] = P(B \cap A) + P(C \cap A)$$

由于 $(B \cap A) \cup (C \cap A) = (B \cup C) \cap A$ 我们有

$$\begin{aligned} P(B \cup C \mid A) &= \frac{P[(B \cup C) \cap A]}{P(A)} = \frac{P(B \cap A) + P(C \cap A)}{P(A)} \ &= P(B \mid A) + P(C \mid A) \end{aligned}$$