因此条件概率满足各条公理，从而也满足各种进一步的规则，例如补集规则（4）和一般加法规则（7）。此外，由于条件概率本身也是一个概率，所以可以再次对其进行条件化。于是，如果定义中的概率都以另一事件 C 为条件，我们有

$$P(B | A \cap C) = \frac{P(A \cap B | C)}{P(A | C)}$$

例 13.7 假设在一座小热带岛屿上只有两种天气：晴天和雨天。晴天之后是雨天的概率为 0.6，而雨天之后仍是雨天的概率为 0.8。任何一天的天气只取决于前一天的天气，而与更早的天气无关。求如果周四是雨天，那么周六是晴天的概率。

解 设 T、F 和 S 分别表示周四、周五和周六是晴天的事件（见图 13.16）。所有概率都必须以周四是雨天这一假设为条件。第一步是

$$P(P(S \mid \bar{T}) = P(S \cap F \mid \bar{T}) + P(S \cap \bar{F} \mid \bar{T}))$$

因为条件概率服从加法规则。另外，

$$P(S \cap F | \bar{T}) = P(S | F \cap \bar{T})P(F | \bar{T})$$

由定义可得。现在

$$P(F \mid \bar{T}) = P(\text{sunny} \mid \text{rainy}) \ = 1 - 0.8 = 0.2$$

因为条件概率服从补集规则。天气的影响不会超出前一天的假设意味着

$$\begin{aligned} P(S | F \cap \bar{T}) &= P(S | F) = P(\text{sunny} | \text{sunny}) \ &= 1 - 0.6 = 0.4 \end{aligned}$$

图 13.16 例 13.7 的事件序列。