13.4 随机变量

13.4.1 引言与定义

既然概率论的基础已经奠定，我们就可以开始考虑源自典型实验的数据——特别是来自随机变量观测的数值数据。非数值的结果也可能引起人们的兴趣，例如在一个实验中，机器可能出现的故障可以是集合 {过热、卡住、错位}。即便如此，实验也可能会重复多次，而每个结果的计数会产生可以进行统计处理的数值数据。不过，目前我们暂且假设结果本身取数值。

一个随机变量由一个可能数值的样本空间以及这些数值上的一个概率组成。

随机变量在可预先预测的程度上各不相同。正如下面四个例子所示，某些随机变量的可能取值的概率非常分散，而另一些则高度集中：

• (a) 掷骰子。没有完美的骰子，但对于这个随机变量，六个取值的概率几乎相等。
• (b) 下个月的降雨量。除非你生活在气候非常稳定的地区，比如说三月份的降雨量每年都有相当大的变化。其概率不如掷骰子那样分散，但存在很高的不确定性。
• (c) 航班延误。这里最多短时间延误的概率很高，但出现非常长时间延误的概率很小。这些概率相对集中。
• (d) 明天日出的时间。知道你的纬度、经度、海拔、日期、日出的方向以及该方向上地平线相对于海平面的高度，你就可以非常精确地预测时间。由于大气折射，仍会存在一些小的不确定性。

随机变量的行为由其概率分布的轮廓决定。下面我们将针对两种常见类型对此作进一步阐述。记号约定是用大写字母（如 X）表示随机变量，用相应的小写字母（如 x）表示观测值。

13.4.2 离散随机变量

离散随机变量与连续随机变量的区别沿袭自样本空间的区分（第 13.3.2 节）。首先我们考虑离散的情形。

随机变量 $X$ （比如说）有一个可能取值的列表 $v_1, v_2, \dots, v_m$ 并带有等于这些取值的概率 $P(X = v_1), \dots, P(X = v_m)$ 。换言之，每个实际取值 $x$ 的 $X$ 等于 $v_i$ 对于某个 $i = 1, \dots, m$ ，并且我们允许 $m$ 在需要时为无穷大。这可以看作第 13.2.4 节中数据直方图的一种理想化，其中 $m$ 是类别的个数。典型的例子有掷骰子、生日，以及生产线上某一批产品中不合格元件的个数。

一般地，离散随机变量的行为可以通过概率质量函数用图形来表示

$$P_X(x) = P(X = x) \quad (-\infty < x < +\infty)$$