解 对密度函数积分即得分布函数（图 13.21）：

图 13.21
指数分布（例
13.13）。

$$F_X(x) = \int_0^x \frac{1}{2} e^{-z/2} dz = [-e^{-z/2}]_0^x = 1 - e^{-x/2}$$

对于 $x \geq 0$ ，其余为零 $x < 0$ 。变量 $z$ 是用于积分的哑变量。分布函数和密度函数表明大多数元件寿命较短，但有一小部分可以存活更长时间。

13.4.4 密度函数与分布函数的性质

为了使用密度函数和分布函数，我们需要以下结果，它们可直接由定义得出：

$$(a) \quad \lim_{x \rightarrow -\infty} F_X(x) = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \rightarrow +\infty} F_X(x) = 1$$

显然，随机变量的取值不可能小于 $-\infty$ ，而它必然小于 $+\infty$ 。

(b) 若 $$x_1 < x_2$$ 那么 $F_X(x_1) \leq F_X(x_2)$

这里事件 $X \leq x_1$ 是事件 $X \leq x_2$ 的子集，因此后者的概率必须至少与前者的概率一样大。由结果 (a) 和 (b) 可知，分布函数在任意一点要么保持不变，要么递增，最终从其下限零（在 $-\infty$ 处）上升到其上限一（在 $+\infty$ ).

$$(c) \quad P(x_1 < X \leq x_2) = F_X(x_2) - F_X(x_1)$$

处）。对于任意随机变量，分布函数在两点处的取值之差即为随机变量的取值落在这两点之间（或等于上端点）的概率。对于连续随机变量，由于函数之间的关系，这也是密度函数在这两点之间的面积：

$$P(x_1 < X \leq x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f_X(z) dz$$