如图 13.22 所示。这一关键结果表达了密度函数的重要性，并引出了连续随机变量的另一个应当清楚理解的特性。令 $x_1 = x_2 = x$ ，我们看到随机变量恰好取值 $P(X = x)$ 的概率 $x$ 对任何 $x$ 都为零，因为积分是在长度为零的区域上进行的。这与离散随机变量形成鲜明对比，后者只能取某些特定的值。

图 13.22 由密度函数求区间概率。

$$(d) \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) dx = 1$$

密度函数下的总面积必须为 1，因为随机变量必定在某处取值。

例 13.14 对于例 13.13 中元件寿命的分布，求寿命超过 6000 小时的元件所占的比例。

解 利用分布函数，

$$\begin{aligned} P(X > 6) &= 1 - P(X \leq 6) = 1 - F_X(6) \ &= 1 - [1 - e^{-6/2}] = e^{-3} \approx 0.05 \end{aligned}$$

换句话说，大约每二十个元件中就有一个寿命超过 6000 小时。

例 13.15 两人约定在六点到七点之间于某一确定地点会面。他们的实际到达时间在一小时内相互独立且完全随机（任何到达时间的可能性都不比其他时间大）。求

• (a) 先到者需要等待的时间的密度函数；
• (b) 如果先到者等待的时间不超过 15 分钟，会面能够进行的概率。

解 (a) 样本空间可以看作如图 13.23(a) 所示的单位正方形。