图 13.23

(a) 例 13.15 的样本空间。

(b) 等待时间的密度函数与分布函数。

每个点表示一对到达时间，每个时间都以六点起一小时内的时间来度量。由于每个人的到达时间都是等可能的，且两人独立到达，所以单位正方形中的所有点都是等可能的。由于总概率必须为一，这意味着任何点子集的概率就等于该子集的面积。沿对角线、沿任一坐标轴偏移一定距离的点 $w$ 对应于先到的人（设为 $W$ ）的等待时间等于 $w$ ，因为沿这类直线两人到达时间之差为常数。因此阴影区域表示等待时间大于 $w$ 。把两个三角形拼在一起，我们得到一个边长为 $1 - w$ 的正方形，所以等待时间超过 $w$ 的概率由下式给出

$$P(W > w) = (1 - w)^2$$

取其补集即得等待时间的分布函数：

$$F_w(w) = P(W \leq w) = 1 - (1 - w)^2 = 2w - w^2$$

通过求导，概率密度函数为

$$f_w(w) = 2(1 - w)$$

两个函数均针对介于零和一之间的 w，如图 13.23(b) 所示。

(b) 会面发生的概率是等待时间不超过 15 分钟的概率：

$$P(W \leq \frac{1}{4}) = F_W(\frac{1}{4}) = \frac{7}{16}$$