13.4.5 习题

• 24 求掷一对骰子时点数之和的分布。

  25 在高尔夫球场的第18洞，高尔夫球手打出标准杆四杆的概率为0.55，低于标准杆一杆的概率为0.17，低于标准杆两杆的概率为0.03，高于标准杆一杆的概率为0.2，高于标准杆两杆的概率为0.05。绘制（累积）分布函数图。

  26 必须进行一个困难的装配过程，每次尝试成功的概率为0.2。达到成功所需的独立尝试次数的分布由乘法法则给出，如下： $$P(X = k) = (0.2)(0.8)^{k-1} \quad (k = 1, 2, 3, \dots)$$ 绘制分布函数图，并求尝试次数为以下情况的概率：

• (b) 三到五次之间。 27 假设一枚硬币被抛掷三次，随机变量 W 表示正面朝上的次数减去反面朝上的次数。

  • (a) 列出三次抛掷硬币的样本空间 S 的元素，并为每个样本点赋予 W 的一个值 w。
  • (b) 假设硬币是均匀的，求 W 的概率分布。

• (c) 假设硬币是有偏的，使得正面朝上的可能性是反面的两倍，求 W 的概率分布。 28 如果随机变量 X 的概率密度函数由下式给出

$$f_X(x) = \begin{cases} c/\sqrt{x} & (0 < x < 4) \ 0 & \text{(elsewhere)} \end{cases}$$

其中 c 是常数，求

• (a) c 的值；
• (b) 分布函数；
• (c) $P(X > 1)$ 。

29 某一震级的相继两次地震之间的时间间隔（X）服从指数分布，其密度函数为

$$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{90}e^{-x/90} & \text{if } x \geq 0 \ 0 & \text{if } x < 0 \end{cases}$$

其中 x 以天为单位。求这样的间隔不超过 30 天的概率。

30 某种易腐包装食品的保质期（以小时为单位）是一个随机变量，其密度函数为

$$f_x(x) = \begin{cases} 20 , 000(x + 100)^{-3} & (x > 0) \ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$$

求其中一包食品的保质期为以下情况的概率：

• (a) 至少 200 小时；
• (b) 至多 100 小时；
• (c) 在 80 到 120 小时之间。

31 海面上的波浪振幅 X 通常服从以下（瑞利）分布：

$$f_X(x) = \begin{cases} \frac{x}{a} \exp\left(-\frac{x^2}{2a}\right) & (x > 0) \ 0 & \text{(otherwise)}\end{cases}$$

其中 $a$ 为正常数。求分布函数，并由此求当 $a = 6$ .

时波浪振幅超过 5.5 米的概率。

13.4.6 位置和离散程度的度量

随机变量的可观测性质由其概率分布（若为离散型）或密度函数（若为连续型）决定，但很难从数据中提取这么多信息。一种相当简单且常用的方法是