图 13.24 某一特定分布的众数、中位数和均值。

假设随机变量属于某一类，其分布由一个公式指定，并且在实践中经常出现，例如二项分布、泊松分布或正态分布。这些分布将在 13.5 节中介绍。另一种常见的方法是用两个数字来刻画随机变量：一个位置（“典型”值）的度量和一个离散程度（围绕该值的“散布”）的度量。在实践中，这两种方法通常结合使用，位置和离散程度的度量常常为分布公式提供参数。

均值、中位数和众数

有三种常用的位置度量，其中最重要的是均值。对于一个随机变量 $X$ 通常用符号表示 $\mu_X$ 并定义为

$$\mu_X = \begin{cases} \sum_{k=1}^m v_k P(X = v_k) & \text{if } X \text{ is discrete} \ \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) dx & \text{if } X \text{ is continuous} \end{cases}$$

这表示 X 的可能取值的加权和，权重反映其出现的相对可能性，实际上是分布的“重心”。

另一个常用的位置度量是中位数。对于连续随机变量 X，它是满足下式的点 mX：

$$P(X \leq m_X) = F_X(m_X) = \frac{1}{2}$$

换句话说，X 大于中位数和小于中位数的概率相等。对于离散随机变量，中位数可能不唯一，任何满足下式的点都可以作为中位数：

$$P(X \leq m_X) \geq \frac{1}{2} \quad \text{and} \quad P(X \geq m_X) \geq \frac{1}{2}$$

分布的中位数与均值并不重合，除非该分布具有对称轴，在这种情况下两个度量都位于对称轴上。

第三个位置度量是众数，它是使概率密度函数 PX(mode)（若为离散）或概率密度函数 fX(mode)（若为连续）达到总体最大值的任意一点。因此，众数可以被视为 X 最可能被观测到的值。均值、中位数和众数可以互不相同（例如见图 13.24），并且可以以任意顺序出现。