例 13.16 求以下情况的均值、中位数和众数

• (a) 掷一枚均匀骰子，
• (b) 船舶到达次数（例 13.12），
• (c) 寿命分布（例 13.13）。

解 (a) 对于掷均匀骰子

$$\mu_X = \sum_{k=1}^6 \frac{1}{6} k = 3.5$$

中位数是区间 [3, 4] 中的任意一点，且每个可能的值都是众数。

• (b) 对于船舶到达次数

$$\mu_X = (0)(0.1) + (1)(0.3) + (2)(0.35) + (3)(0.2) + (4)(0.05) = 1.8$$

中位数是二，因为 $P(X \leq 2) = 0.75$ 以及 $P(X \geq 2) = 0.6$ ，两者都超过一半。众数也等于二，因为这是最可能的取值。

• (c) 对于寿命分布

$$\mu_X = \int_0^\infty \frac{1}{2} x e^{-x/2} dx$$

我们通过分部积分得到

$$\mu_X = [-xe^{-x/2}]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x/2} dx = [-2e^{-x/2}]_0^\infty = 2$$

中位数由下式给出

$$F_X(m_X) = 1 - e^{-m_X/2} = \frac{1}{2}$$

由此可得 $m_\chi = 1.386$ 。然而，众数为零，因为这是密度函数的峰值。

方差、标准差与四分位数

衡量随机变量围绕其中心值（均值、中位数或众数）的变异程度有两种方法。其中最重要的度量是方差，它是可能取值与均值之差的平方的加权和，通常写作 $\text{Var}(X)$ 或 $\sigma_X^2$ :

$$\text{Var}(X) = \sigma_X^2 = \begin{cases} \sum_{k=1}^m (v_k - \mu_X)^2 P(X = v_k) & \text{if } X \text{ is discrete} \ \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu_X)^2 f_X(x) dx & \text{if } X \text{ is continuous} \end{cases}$$