$$\begin{aligned}\sigma_x^2 &= -[(x-2)^2e^{-x/2}]_0^\infty + \int_0^\infty 2(x-2)e^{-x/2}dx \ &= 4 - [4(x-2)e^{-x/2}]_0^\infty + \int_0^\infty 4e^{-x/2}dx = 4\end{aligned}$$

由此可得 $\sigma_X = 2$ 。四分位数 $q_1$ 和 $q_3$ 分别是

$$1 - e^{-x/2} = \frac{1}{4} \quad \text{and} \quad 1 - e^{-x/2} = \frac{3}{4}$$

的解，由此可得 $q_1 = 0.575$ 和 $q_3 = 2.773$ ，因此四分位距为 $2.773 - 0.575 = 2.198$ .

13.4.7 期望值

均值和方差是随机变量期望值的特例。一般地，随机变量 $h(X)$ 的函数 $X$ 的期望值为

$$E[h(X)] = \begin{cases} \sum_{k=1}^m h(v_k) P(X = v_k) & \text{if } X \text{ is discrete} \ h(x) f_X(x) dx & \text{if } X \text{ is continuous} \end{cases}$$

与之前一样，这是各可能取值的加权组合。均值和方差分别通过取 $h(X) = X$ 和 $h(X) = (X - \mu_X)^2$ 得到。

期望值有许多应用。一个直接的应用是方差的另一种有用表达式，可通过展开平方得到。如果 $X$ 是连续的，则

$$\begin{aligned}\sigma_X^2 &= \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu_X)^2 f_X(x) dx \ &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f_X(x) dx - 2\mu_X \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) dx + \mu_X^2 \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) dx \ &= E(X^2) - \mu_X^2\end{aligned}$$

换言之，方差等于平方的期望值（或均值）减去均值的平方。当 $X$ 是离散时，通过类似的证明，同样的结论也成立。

例 13.18 求例 13.15 中等待时间的均值和标准差。

解 平均等待时间为

$$\mu_w = \int_0^1 2(w - w^2) dw = \frac{1}{3}$$