均方为

$$E(W^2) = \int_0^1 2(w^2 - w^3) dw = \frac{1}{6}$$

所以标准差为

$$\sigma_w = \sqrt{[\frac{1}{6} - (\frac{1}{3})^2]} = 0.236$$

这些结果对应于均值为 20 分钟，标准差约为 14 分钟。

13.4.8 随机变量的独立性

对于同一对象，可以测量两个不同的随机变量：例如，一个人的身高和体重。单独来看，这些随机变量各有其分布、均值和方差，这些适用于特定的人群，但这并不是全部。显然，个子高的人往往比个子矮的人更重（尽管显然也有例外）。在这种情况下，我们说这些变量在某种程度上是相互依赖的。依赖的概念与 13.3.4 节中讨论的适用于事件的概念基本相同。此外，正如事件可以是独立的（13.3.5 节），随机变量也可以是独立的。例如，一个人的生日和电话号码之间似乎没有任何关联，因此它们是独立的随机变量。从一个变量的观测中几乎不可能了解到关于另一个变量的任何信息。

对于独立事件，我们有联合概率等于各自概率乘积的规则：

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

对于独立的离散随机变量，也有类似的规则：

$$P(X = u_i \cap Y = v_j) = P(X = u_i)P(Y = v_j)$$

其中 $u_1, u_2, \dots, u_k$ 是 $X$ 的可能取值， $v_1, v_2, \dots, v_m$ 是 $Y$ 的可能取值。这实际上为这两个随机变量规定了一个联合分布。如果我们对 $Y$ 然后我们得到

$$\begin{aligned} \sum_{j=1}^m P(X = u_i \cap Y = v_j) &= \sum_{j=1}^m P(X = u_i)P(Y = v_j) \ &= P(X = u_i) \sum_{j=1}^m P(Y = v_j) \ &= P(X = u_i) \end{aligned}$$

因此，X 的某个取值 ui 的单个概率可以通过对 Y 的所有取值 vj 求和（同时将 X 固定在 ui）从联合分布中得到。事实上，即使随机变量是相关的，这一结论依然成立。