English · PDF 1061
中文 · PDF 1061
例 13.19 制造基地的一个新工厂必须先安装，然后调试。这两个阶段所需的时间取决于不同的随机因素，因此可以视为相互独立。根据以往经验，X（安装时间）和 Y（调试时间）的分布（均以天为单位）如下：
| ui | 3 | 4 | 5 | 6 | vj | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 4 | ||||||
| P ( X = ui | ||||||||
| ) | 0.1 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | P ( Y = vj | |||
| ) | 0.50 | 0.35 | 0.15 |
求 X 和 Y 的联合分布，以及总时间不超过七天的概率。
解 由于随机变量相互独立，联合分布由各自分布的乘积给出：
$$P(X = u_i \cap Y = v_j) = P(X = u_i)P(Y = v_j)$$
结果如下：
| 联合概率 | $u_i$ | 总计 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| $v_j$ | 2 | 0.050 | 0.200 | 0.150 | 0.100 |
| 3 | 0.035 | 0.140 | 0.105 | 0.070 | |
| 4 | 0.015 | 0.060 | 0.045 | 0.030 | |
| 总计 | 0.10 | 0.40 | 0.30 | 0.20 | 1.00 |
请注意，行合计和列合计给出了 X 和 Y 各自的分布。总时间不超过七天的概率由阶梯虚线上方那些联合概率之和给出：
$$\begin{aligned} P(X + Y \leq 7) &= P(X = 3 \cap Y = 2) + P(X = 3 \cap Y = 3) + P(X = 3 \cap Y = 4) \ &\quad + P(X = 4 \cap Y = 2) + P(X = 4 \cap Y = 3) + P(X = 5 \cap Y = 2) \ &= 0.050 + 0.035 + 0.015 + 0.200 + 0.140 + 0.150 = 0.59 \end{aligned}$$
13.4.9 随机变量的缩放与相加
例 13.19 引入了随机变量之和的概念，其本身也是一个随机量。这个量的分布可以从联合分布推导出来；因此在例 13.19 中，总时间（安装加调试）恰好为七天的概率是
$$\begin{aligned} P(X + Y = 7) &= P(X = 3 \cap Y = 4) + P(X = 4 \cap Y = 3) + P(X = 5 \cap Y = 2) \ &= 0.015 + 0.140 + 0.150 = 0.305 \end{aligned}$$
对于从最小值（五天）到最大值（十天）的每个可能取值都可以进行类似的计算，从而得到完整的分布。