例 13.20 求例 13.19 中所述情形的总时间的分布，以及该时间的期望值。

解 按照上文所述的方法进行，我们得到如下分布：

于是期望值为

$$E(X + Y) = \sum_{w_k} w_k P(X + Y = w_k) = 7.25$$

然而，有一种更简单的方法可以求出随机变量之和的均值。下列各随机变量各自的均值（即期望值） $X$ 和 $Y$ 可以很容易地由例 13.19 中给出的数值求得：

$$E(X) = \sum_{u_i} u_i P(X = u_i) = 4.60$$

$$E(Y) = \sum_{v_j} v_j P(Y = v_j) = 2.65$$

结果表明

$$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$

随机变量之和的均值等于各均值的和。这是一个一般性的结论，证明如下：

$$\begin{aligned} E(X + Y) &= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^m (u_i + v_j) P(X = u_i \cap Y = v_j) \ &= \sum_{i=1}^k u_i \left[ \sum_{j=1}^m P(X = u_i \cap Y = v_j) \right] + \sum_{j=1}^m v_j \left[ \sum_{i=1}^k P(X = u_i \cap Y = v_j) \right] \ &= \sum_{i=1}^k u_i P(X = u_i) + \sum_{j=1}^m v_j P(Y = v_j) \ &= E(X) + E(Y) \end{aligned}$$

双重求和遍历 $X + Y$ 的所有可能取值（即 $u_i + v_j$ ）乘以每种组合的概率，并且用到了 13.4.8 节的结论：将联合概率对其中一个变量的取值求和，即得到另一个变量的概率。此外，由于这一结论对相互依赖（相关）的变量同样成立（如《Advanced Modern Engineering Mathematics》中所示），所以随机变量之和的均值总是等于各均值的和，无论它们是否相关。