例 13.21 如果平均温度为 58°F，那么平均温度是多少摄氏度？

解 设 TF 和 TC 分别表示华氏温度和摄氏温度，则

$$T_{T_C} = \frac{5}{9}(T_F - 32)$$

因此

$$E(T_C) = \frac{5/9 [E(T_F) - 32] = 5/9(58 - 32) = 13.4^\circ\text{C}$$

13.4.10 由样本数据得到的度量

现在我们可以回到对数据的讨论上，数据是整个练习的对象。鉴于在实验环境中所研究的随机变量的精确分布通常是未知的，而其均值和方差至少是有用的特征，因此尝试从数据中估计这些量是合理的。经验表明，即使从相当小的样本中也能得到对均值和方差相当好的估计，而直方图要能较好地近似真实分布的整体形状，则需要大得多的样本。

样本均值与方差

对于样本 ${X_1, \dots, X_n}$ 的数据，样本均值和样本方差分别定义为

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \quad \text{and} \quad S_X^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$$

样本标准差是样本方差的平方根。

样本均值以及偏离样本均值的平方偏差的平均值，很容易从数据中算出，它们刻画了数据的位置和离散程度。事实证明，这些量近似于真实的均值和方差，并且随着 $n \rightarrow \infty$ （其确切含义将在下文阐明）的增大，近似程度会提高。

通过展开样本方差公式中的平方项（如同 13.4.7 节中对真实方差的做法），很容易证明另一个表达式（它便于手工计算）为

$$S_X^2 = \overline{X^2} - (\overline{X})^2$$

即平方的平均减去平均的平方。当在统计学中使用小样本时（这在《Advanced Modern Engineering Mathematics》中有讨论），必须采用另一种样本方差的定义：

$$S_{X,n-1}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$$