这两种定义之间的差别相对较小。许多科学计算器都提供了计算样本平均值以及两种形式的样本方差或标准差的函数。

例 13.22

一枚骰子被投掷了二十四次，得到如下结果：

$$4, 6, 2, 4, 2, 1, 5, 1, 3, 1, 3, 4, 5, 4, 3, 1, 6, 5, 6, 3, 1, 2, 4, 6$$

求样本平均值和标准差。

解 二十四次投掷的平均点数为

$$\bar{X} = 3.42$$

平方的平均值为 13.667，因此标准差为

$$S_X = \sqrt{[13.667 - (3.42)^2]} = 1.73$$

这些数值与例 13.16 和例 13.17 中算出的理论值很接近。

第 1.5 节中首次提出的一个问题在这里很重要：这些结果应该保留到小数点后多少位？本例中数据的实际平均值为 3.4166...，但结果所给出的有效数字位数不应超过统计上所能证明的位数。平均值可以记为 3、3.4、3.42、3.417 等等，但适当的精度取决于样本大小 $n$ 。

样本平均值本身是一个随机变量；它有均值和方差，并且由第 13.4.9 节的结果可知

$$\text{Var}(\bar{X}) = \text{Var}\left(\frac{X_1 + \dots + X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \text{Var}(X_1 + \dots + X_n) = \frac{n\sigma_X^2}{n^2} = \frac{\sigma_X^2}{n}$$

因为这里的随机变量 $X_i$ 可以合理地假设为相互独立。

样本容量越大， $\bar{X}$ 的方差就越小，精度也就越高，但要量化精度我们还需要 $\sigma_X$ 的一个值。通常我们只有估计值 $S_X$ , 但这也是一个随机变量，且存在误差。可以证明，在许多情况下，对 $S_X$ 作为 $\sigma_X$ 的估计的（相当粗略的）精度指示是：其相对误差（见第 1.5.2 节）与 $\sqrt{(2n)}$ :

$$\frac{|S_X - \sigma_X|}{\sigma_X} \approx \frac{1}{\sqrt{(2n)}}$$

成反比变化。 $n = 24$ 回到例 13.22，当 $S_X$ 时， $S_X$ 的百分比误差估计为 14%，因此 $S_X/\sqrt{n}$ 的误差可能在 0.2 的量级，小数点后第二位没有意义。而其值为 0.35 的量中，误差相应地在 0.05 的量级。因此，例 13.22 的结果更恰当地应表述为

$$\bar{X} = 3.4 \quad (\text{with likely error of order 0.4})$$

$$S_X = 1.7 \quad (\text{with likely error of order 0.2})$$