我们可以在例 13.23 中使用以下 R 代码来计算样本均值、方差和标准差。

数据输入 x <- c(106, 98, 95, 109, 99, 102, 101, 108, 94, 99, 96, 102) x2 <- x^2 # 通过计算相对样本均值的 # 偏差平方的平均值来估计方差 dif <- x-mean(x) sigma_sq_x <- sum(dif^2)/length(x) sigma_sq_x # 方差的另一种表达式 sigma_sq_x<- mean(x^2) - (mean(x))^2 sigma_sq_x # 样本均值 mean(x) # 样本方差 var(x) # 样本标准差 sd_x<-sd(x) sd_x

图 13.25

{计算样本均值和标准差的程序，x(k) 为数据数组，n 为样本容量，xbar 为样本均值，sx 和 sxn_1 是标准差的两种版本，Mk 和 Qk 保存累计和，记号同第 13.4.10 节。}

Mk ← 0
Qk ← 0
for k is 1 to n do
diff ← x(k) − Mk
Mk ← ((k − 1)*Mk + x(k))/k
Qk ← Qk + (1 − 1/k) *diff*diff
endfor
xbar ← Mk
sx ← square_root(Qk/n)
sxn_1 ← square_root(Qk/(n − 1))

图 13.26 样本均值和方差的伪代码清单。

$$M_k = \frac{1}{k} [(k-1)M_{k-1} + X_k]$$

$$\mathcal{Q}k = \mathcal{Q}{k-1} + \left(1 - \frac{1}{k}\right)(X_k - M_{k-1})^2$$