最后，

$$\bar{X} = M_n, \quad S_X^2 = \frac{Q_n}{n} \quad \text{and} \quad S_{X,n-1}^2 = \frac{Q_n}{n-1}$$

使用这种递推方法避免了必须对数据进行两次遍历（如样本方差的原始定义所要求的），同时也避免了两个量相减所导致的精度损失——在实践中这两个量往往数值很大且彼此接近（如另一种表达式所要求的）。

样本中位数与极差

样本均值和标准差并不是由数据导出的位置和离散程度的唯一度量。假设数据 ${X_1, \dots, X_n}$ 已按顺序排列，使得

$$X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \dots \leq X_{(n)}$$

那么可以定义一个样本中位数，它给出真实中位数（第 13.4.6 节）的估计值，如下

$$\text{sample median} = \begin{cases} X_{(k)} & \text{(odd } n = 2k - 1\text{)} \ \frac{1}{2}[X_{(k)} + X_{(k+1)}] & \text{(even } n = 2k\text{)} \end{cases}$$

一种常用的离散程度度量（尤其对于小样本）是样本极差 $X_{(n)} - X_{(1)}$ ，即数据集中最大元素与最小元素之差，常用于质量控制。四分位数和百分位数的概念（第 13.4.6 节）也可以基于累积百分比（第 13.2.5 节）应用于数据。

例 13.24

求例 13.22 和例 13.23 中数据的样本中位数和极差。

解 对于掷骰子试验，排序后的结果为

$$1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6$$

因此样本中位数为 $\frac{1}{2}(3 + 4) = 3.5$ ，样本极差为 5。

对于电阻，排序后的数值为

$$94, 95, 96, 97, 98, 99, 101, 101, 102, 106, 108, 109$$

所以样本中位数是 $\frac{1}{2}(99 + 101) = 100$ ，样本极差为 15。