解答 控制图如图 13.36 所示。由 $np = 2.5$ 及图 13.37 可得警戒限 $c_w = 5.5$ 和行动限 $c_A = 8.5$ 。取半整数值是为了避免计数恰好落在限值上时产生歧义。在第 18 个样本越过行动限之前，样本 6、10、11、15 和 16 处出现了警戒。严格来说，应在此时作出决策，但根据概率的乘法法则，连续两次出现警戒的概率小于 1600 分之一，这也可以作为在样本 11 之后采取行动的依据。

例 13.33 表明，在休哈特控制图中严格等待越过行动限的做法是相当保守的。实际上，超出预期次品数的计数的长序列会使决策更早作出。

13.6.2 美国标准属性控制图

上述控制图以超越概率设定行动限和警戒限，这是英国的标准做法。在美国，做法则大不相同：通常没有警戒限，而行动限（称为上控制限，UCL）设定在均值以上三个标准差处。由于次品数服从均值为 $np$ 、方差为 $np(1 - p)$ 的二项分布，这意味着

$$\text{UCL} }= np + 3[np(1 - p)]^{1/2}$$

例 13.34

例 13.34 求 UCL 并将其应用于例 13.33 中的数据。

解答 由 $n = 50$ 和 $p = 0.05$ 可推得 UCL = 7.1，它介于警戒限 $c_w$ 以及行动限 $c_A$ 在例 13.33 中。修正该过程的决定将在第 15 个样本之后做出，这是第一个超出 UCL 的样本。

有时还会定义一个下限控制，即 LCL，设在均值以下三个标准差处：

$$\text{LCL} = np - 3[np(1 - p)]^{1/2}$$

如果该值为正，则可用于检验产出中的次品比例是否显著低于预期值。

控制图还可用于监控制造过程的产出，此时质量取决于诸如尺寸、重量或电阻等数值度量。还会使用比休哈特（Shewhart）图在检测产出变化方面更强大的图。这些主题在《Advanced Modern Engineering Mathematics》中有所讨论。