对于每个问题，重要的是在存在共同原因时识别出它——而其存在的一个线索就是区域差异。此外，对于每个问题，主要的困难在于案例的稀少，而正是这一点使得利用概率论进行分析变得有用。

本案例研究以飞机运营中险情（near-miss）调查的形式表述，但该分析可以应用于上述任何例子。其中的数字是假设的，但分析方法却是符合实际的。

13.7.2 飞机之间险情的调查

假设各大航空公司合作，在一年的时间内对险情进行调查。所研究的区域被划分为 1000 个区域，使得每个区域平均每年有 200 次航班经过。假设航班总数为 200 000，飞行员记录的险情总数为 120。虽然一次险情涉及两架飞机，但它被记录为单一事件。在年末检查数据时，有两个区域尤为突出。在区域 A 中，总共 400 次航班中发生了 4 起事件；在另一个区域 B 中，总共 150 次航班中发生了 2 起事件。

自然而然要问的问题是，是否存在某些区域——特别是这两个区域——其险情数量超出了偶然因素所能解释的范围。如果存在这样的区域，就可以对其进行考察，看看是什么使它与众不同，这可能导致发现共同原因并采取适当的行动。为了解决这个问题，我们首先假设每次航班在每个区域发生险情的概率都相同。该概率取为险情总数除以航班总数，即得 $p = 6 \times 10^{-4}$ 。

为了评估区域 A 和 B 的数据有多么不可能，我们需要按例 13.25 之后的讨论所解释的那样，计算出现给定数量或更多事件的概率。如果我们假设概率 p 对每次航班独立适用，那么对于区域 A，利用二项分布，我们有

$$P(4 \text{ or more incidents}) = 1 - \sum_{k=0}^3 \binom{400}{k} p^k (1-p)^{400-k}$$

即得 $1.13 \times 10^{-4}$ 。或者，利用泊松近似（13.5.2 节），

$$\begin{aligned} P(4 \text{ or more incidents}) &\approx 1 - \sum_{k=0}^3 \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad (\text{with } \lambda = 400p = 0.24) \ &= 1 - e^{-\lambda} \left( \left( \left( \frac{\lambda}{3} + 1 \right) \frac{\lambda}{2} + 1 \right) \lambda + 1 \right) \ &= 1.14 \times 10^{-4} \end{aligned}$$

它与精确值非常接近。类似地，对于区域 B

$$\begin{aligned} P(2 \text{ or more incidents}) &= 1 - (1 - p)^{150} - 150p(1 - p)^{149} = 3.79 \times 10^{-3} \ &\approx 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda) \quad (\text{with } \lambda = 150p = 0.09) \ &= 3.82 \times 10^{-3} \end{aligned}$$

从这些结果可以清楚地看出泊松近似对二项分布的有效性。