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1 连续随机变量 X 的概率密度函数由下式给出
$$f_x(x) = \begin{cases} \frac{c}{x^4} & \text{for } x \geq 1 \ 0 & \text{for } x < 1 \end{cases}$$
其中 c 为常数。求
- (a) 常数 c 的值；
- (b) X 的累积分布函数；
- (c) $P(X > 2)$ ;
- (d) X 的均值；
- (e) X 的标准差。
2 假设某办公大楼中有 720 台个人电脑，每台电脑在每个工作日独立地以概率 0.002 发生故障，利用二项分布的泊松近似，求在任一工作日中这些电脑中有超过 4 台发生故障的概率。
3 某市工程师部门在路灯灯杆上安装了 10 000 只荧光灯泡。灯泡的平均寿命为 7000 工作小时，标准差为 400 小时。假设灯泡的寿命 L 是一个正态随机变量，那么在工作 6000 小时后，预计有多少只灯泡会失效？如果工程师希望采用一种例行更换策略，确保在例行更换之前失效的灯泡不超过 5%，那么多久应更换一次灯泡？
4 二项分布是更一般的多项分布的特例：
$$P(n_1, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \dots n_k!} (p_1)^{n_1} \dots (p_k)^{n_k}$$
其中 $p_1 + \dots + p_k = 1$ 且 $n_1 + \dots + n_k = n$ 。随机变量的每次观测都有 $k$ 种可能的结果，其概率分别为 $p_1, \dots, p_k$ , 在进行 $n$ 次独立观测后，观测到的每种可能结果的总次数分别为 $n_1, \dots, n_k$ 。假设拨打某电话银行查询服务热线的电话中有 60%
是查询账户余额，20% 是确认付款，10% 是转账请求，10% 是开立新账户。求在该服务的二十次来电中，有十次余额查询、五次付款确认、三次转账和两次开立新账户的概率。
6 某制造商同意将小型伺服机构以每箱 100 件的方式发运给经销商。经销商要求 90% 的箱子中至多含有一件次品。假设用泊松分布近似二项分布，写出泊松参数 $\lambda$ 满足经销商要求恰好成立的方程。用试错法求解（近似解为 0.5），从而求出所生产的伺服机构必须达到的合格品比例。
6 有一万个数相加，每个数都四舍五入到小数点后第六位。假设舍入产生的误差相互独立且在 $(-0.5 \times 10^{-6}, +0.5 \times 10^{-6})$ 上均匀分布，求以 95% 的概率总误差所在的范围。
7 设 $X$ 是均值为 $\mu_X$ 、方差为 $\sigma_X^2$ 的连续随机变量。将 $\sigma_X^2$ 的定义中的积分分成三部分，并按如下方式代入 $(x - \mu_X)^2$ 的相应界限
$$(x - \mu_X)^2 \geq \begin{cases} (k\sigma_X)^2 & \text{on } (-\infty, \mu_X - k\sigma_X) \ 0 & \text{on } (\mu_X - k\sigma_X, \mu_X + k\sigma_X) \ (k\sigma_X)^2 & \text{on } (\mu_X + k\sigma_X, +\infty) \end{cases}$$
其中 k 为常数，证明切比雪夫定理
$$P(|x - \mu_x| > k\sigma_x) \leq k^{-2}$$
由此推出，对于每个连续随机变量 X，其概率至少为 8 9 即 X 取值落在均值三个标准差范围内的概率。
8 函数
$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty y^{\alpha-1} e^{-y} dy \quad (\alpha > 0)$$