被称为 伽马函数，而概率密度函数

$$f_x(x) = \begin{cases} [\Gamma(\alpha)]^{-1} \lambda^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} & (x > 0) \ 0 & \text{(otherwise)} \end{cases}$$

定义了 伽马分布。证明

(a) $$\mu_X = \alpha/\lambda$$

(b) $$\sigma_X^2 = \alpha/\lambda^2$$

99 若 $X_1, \dots, X_n$ 是相互独立的、均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布的随机变量，证明：取值为 ${X_1, \dots, X_n}$ 的最小值的随机变量也服从指数分布，参数为 $n\lambda$ 。特别地，若一台复杂机器由六个部件组成，每个部件的失效时间均服从均值为 2000 小时的指数分布，且机器在任一部件失效时立即失效，求失效时间超过 300 小时的概率。

1C

10 求四个相互独立、均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布的随机变量的最大值的期望值。特别地，若对一台喷气式飞机发动机进行例行测试和维护所需的时间服从均值为三小时的指数分布，且各发动机的维护时间相互独立，求完成一架四发动机飞机的维护所需的平均时间。

11

11 在双骰子（craps）游戏中，掷两枚骰子。总点数为 7 或 11 立即获胜，总点数为 2、3 或 12 则输。对于其余结果，反复掷两枚骰子，直到出现总点数 7（输）或出现最初的点数（赢）。证明总获胜概率约为 0.493。

12

12 大量 $N$ 的人接受血液检查，以检测是否存在某种违禁药物。该检查通过

每次将 $k$ 个人的血液混合并进行检测来进行。如果分析结果为阴性，则足以判定所有 $k$ 人。如果结果为阳性，则必须对每个人的血液分别进行分析，共需 $k + 1$ 次分析。假设每个人检测结果为阳性的概率 $p$ 相同，且各人的分析结果相互独立。求分析次数的期望值，并关于 $k$ 求最小值。特别地，求 $k$ 当 $p = 0.01$ 时的最优值，以及与对所有人分别进行分析相比的期望节省 $N$ 人。

13

13 纠错码被广泛用于数据传输。一条由 $N$ 个二进制位组成的消息被划分为若干个 $k$ 位的块，每个块在传输时附加一些奇偶校验位，使每个块共有 $n$ 位。奇偶校验位在接收端用于纠正传输中出现的任何错误（被翻转的位，包括奇偶校验位本身）。某些纠错码每个块只能纠正单个错误；另一些则最多可纠正两个错误。该数 $n - k$ 选择尽可能小的奇偶校验位数，以满足关系式

$$2^{n-k} \geq n + 1$$ （单纠错码）

或

$$2^n-k \geq n^2 + 1$$ （双纠错码）

(a) 假设传输错误以平均 1% 的传输比特错误率独立发生。对于 4、8、16、32 和 64 比特的数据块，求 $k$ 的值，以及错误数超过码的纠错能力而发生的概率。请分别对单纠错码和双纠错码进行计算。

(b) 对于每种类型的码，求出最大的块大小 $n$ ，使得在发送端总共传输 $k$ 个数据比特时，接收端整体正确解读的概率至少为 95%。比较每种情况下传输的总比特数。 $N = 64$